Mapa conceptual del tema

BLOQUE 1 · EL LENGUAJE DEL CURSO

1.1 Lógica y teoría axiomática de conjuntos

Idea intuitiva

• La lógica formal y la teoría axiomática de conjuntos (p. ej. ZFC) son la garantía de fondo de que el edificio matemático es sólido, no la herramienta diaria.
• El libro prefiere la claridad del lenguaje natural al formalismo.
• Lo que sí hay que dominar: qué significa exactamente una implicación, porque todo teorema es una implicación "hipótesis $\Rightarrow$ tesis".

Definiciones

Proposición con variables. Frase $P(x)$ que es verdadera o falsa según el valor de $x$ ("una frase con hueco").

• $P(x)$: "$x>3$". $\;P(5)$ verdadera, $P(1)$ falsa.

Implicación (definición del libro). $P \Rightarrow Q \quad\text{significa que no se cumple "}P\text{ y no }Q\text{" para ningún valor de las variables.}$

Vocabulario equivalente para $P\Rightarrow Q$:

• "Si $P$, entonces $Q$"; $P$ = hipótesis, $Q$ = tesis.
• $P$ es condición suficiente para $Q$ (basta con $P$).
• $Q$ es condición necesaria para $P$ (sin $Q$ no hay $P$).

Doble implicación. $P\Leftrightarrow Q \quad\text{significa}\quad (P\Rightarrow Q)\ \text{y}\ (Q\Rightarrow P)$ $P$ y $Q$ son verdaderas exactamente para los mismos valores ("si y solo si", "condición necesaria y suficiente").

Recíproco y contrarrecíproco de $P\Rightarrow Q$:

Por qué el contrarrecíproco equivale: prohíbe "$\neg Q$ y $P$", que es la misma trampa que "$P$ y $\neg Q$".

Lectura con conjuntos (puente con 1.2 Teoría ingenua de conjuntos): si $A=\{x: P(x)\}$ y $B=\{x: Q(x)\}$, $P\Rightarrow Q \iff A\subset B, \qquad P\Leftrightarrow Q \iff A=B$

Ejemplos resueltos

1. Implicación verdadera: $x>3\Rightarrow x^2>9$ en $\mathbb{R}$.

• Si $x>3$, entonces $x>0$; multiplicando por $x$: $x^2>3x$.
• Multiplicando $x>3$ por $3$: $3x>9$. $x^2>3x>9 \;\Longrightarrow\; x^2>9 \quad ✔$

2. El recíproco falla: $x^2>9\Rightarrow x>3$. Trampa: $x=-4$ ($16>9$ pero $-4\le 3$). Falsa. $x^2>9\iff (x-3)(x+3)>0\iff x<-3\ \text{ o }\ x>3$

3. Doble flecha mal puesta: "$x^2=4\Leftrightarrow x=2$" es falsa ($x=-2$). Correcto: $x^2=4\iff x^2-4=0\iff (x-2)(x+2)=0\iff x=2\ \text{ o }\ x=-2$

4. Por el contrarrecíproco: "$n^2$ par $\Rightarrow n$ par" ⟸ "$n$ impar $\Rightarrow n^2$ impar": $n=2k+1 \Rightarrow n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 \quad\text{(impar)}$ (Se usa en el Ejemplo 19 del libro para probar que $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$.)

5. Implicación vacía: "$x^2=-1\Rightarrow x=7$" en $\mathbb{R}$ es verdadera: la hipótesis nunca se cumple, así que no puede haber trampas.

6. Suficiente/necesaria: "múltiplo de 4 $\Rightarrow$ par". Ser múltiplo de 4 es suficiente para ser par; ser par es necesario para ser múltiplo de 4; ser par no es suficiente ($6$).

1.2 Teoría ingenua de conjuntos

Idea intuitiva

• No se define "conjunto" (es como la palabra "algo"); sinónimo: colección. Referencia: Halmos, Naive Set Theory.
• No hay "elementos" y "conjuntos" como cosas distintas: unos conjuntos pertenecen a otros. Nunca "$a$ es un elemento", sino "$a$ es un elemento de $A$".
• Analogías útiles:
  • Lista de invitados: orden irrelevante, repetir un nombre no añade invitados.
  • Carpetas de un ordenador: una carpeta contiene archivos y otras carpetas; $\in$ = "está directamente dentro".

Definiciones y notación

Pertenencia. $b\in A$: "$b$ pertenece a $A$". $\;b\notin A$: no pertenece. Tachar para negar vale para todos los símbolos de relación.

Convenio tipográfico (no obligatorio, ayuda a leer): $b\in B$, $\;B\in X$, $\;X\in\mathcal{B}$.

Determinado por sus elementos. $\{a,b\}=\{b,a\}, \qquad \{a,a\}=\{a\}$

Conjunto vacío $\varnothing$: sin elementos. Es único.

Llaves (solo para conjuntos):

• Por extensión: $\{0,1,2,3,4,5,6\}$.
• Por comprensión: $\{n\in\mathbb{N}: n<7\}$ — se lee "los $n$ de $\mathbb{N}$ tales que $n<7$". Como un filtro (WHERE en SQL, if en una list comprehension).
• La condición debe referirse a un conjunto prefijado. $\{B: B \text{ tiene más de un elemento}\}$ está mal formado (consulta sin FROM). Motivo profundo: paradoja de Russell.

Operaciones (Figura 1 del libro):

• $A\cap B=B\cap A$. La unión necesita axioma propio: $\bigcup\mathcal{B}$ = los $x$ que están en algún $X\in\mathcal{B}$; $A\cup B=\bigcup\{A,B\}$.

Subconjunto. $A\subset B$ (o $A\subseteq B$): todo elemento de $A$ está en $B$. $A\subset B\iff A\cap B=A\iff A\cup B=B$

• En este libro $\subset$ admite igualdad: $A\subset A$. Estricta: $\subsetneq$.
• $\varnothing\subset A$ siempre (implicación vacía: no puede haber un elemento de $\varnothing$ fuera de $A$).

Igualdad por doble inclusión. $A=B\iff A\subset B\ \text{ y }\ B\subset A$

Conjunto potencia (de las partes): $\wp(X)=\{A: A\subset X\}$ (requiere axioma). Si $X$ tiene $n$ elementos, $\wp(X)$ tiene $2^n$ (cada elemento "entra o no entra", como un bit).

El edificio de las matemáticas (Ejemplo 3 del libro, con $U=\mathbb{R}$):

Regla: jamás se baja al sótano y rara vez se pasa de la tercera planta. Subir = un nivel más de empaquetado, no objetos "más grandes".

Ejemplos resueltos

1. Pertenencia vs inclusión. $X=\{1,\{1\},\{2,3\}\}$ tiene 3 elementos.

2. Operaciones finitas. $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$: $A\cap B=\{3,4\},\quad A\cup B=\{1,2,3,4,5\},\quad A\setminus B=\{1,2\},\quad B\setminus A=\{5\}$ $A-B=\{-4,-3,-2,-1,0,1\} \quad(\text{todas las restas } a-b)$

3. Intervalos. $A=[0,3]$, $B=(2,5)$: $A\cap B=(2,3],\quad A\cup B=[0,5),\quad A\setminus B=[0,2],\quad B\setminus A=(3,5),\quad A-B=(-5,1)$

4. Potencia. $\wp(\{a,b\})=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\} \qquad (2^2=4)$

5. Doble inclusión: $A\subset B\iff A\cap B=A$.

• $(\Rightarrow)$ $A\cap B\subset A$ siempre; si $x\in A$, por hipótesis $x\in B$, luego $x\in A\cap B$.
• $(\Leftarrow)$ $x\in A=A\cap B\Rightarrow x\in B$. $\blacksquare$

1.3 Tuplas, producto cartesiano y orden

Parte A · Tuplas y producto cartesiano

Por qué hacen falta. $\{2,5\}=\{5,2\}$, pero el punto $(2,5)$ no es el punto $(5,2)$. Igual que en Python:

{2, 5} == {5, 2}   # True  → conjunto
(2, 5) == (5, 2)   # False → tupla

Par ordenado (Kuratowski). Construcción solo con llaves: $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$

• Si $a\neq b$: $(a,b)\neq(b,a)$. Permite repetir: $(a,a)=\{\{a\}\}$.
• Se usa una vez para garantizar que existe y se olvida: solo importa la propiedad característica.

$n$-tuplas (por inducción): $(a_1,\dots,a_n)=((a_1,\dots,a_{n-1}),a_n)$. Idea práctica: ristra de $n$ elementos, posiblemente repetidos, con orden. Las componentes pueden ser cualquier cosa (puntos, rectas, planos, mezclados).

Propiedad característica (lo único que hay que recordar): $(a_1,\dots,a_n)=(b_1,\dots,b_m)\iff n=m\ \text{ y }\ a_i=b_i\ \text{ para todo } i$

• $(1,1,2)\neq(1,2,1)\neq(1,2)$; $\;(0,0,0)\neq(0,0)$.
• Una igualdad de tuplas = varias ecuaciones, una por posición.

Producto cartesiano. $A\times B=\{(a,b): a\in A,\ b\in B\}, \qquad A^2=A\times A, \qquad A^n=A\times\cdots\times A$

• Como dos bucles anidados (for a in A: for b in B), o como un menú del día (primeros × segundos).
• No conmutativo: en general $A\times B\neq B\times A$.
• Finitos: $\lvert A\times B\rvert=\lvert A\rvert\cdot\lvert B\rvert$.
• Superíndices contextuales: "si $A$ tiene $n$ elementos, $A^2$ tiene $n^2$ elementos" (producto cartesiano y producto de números en la misma frase).

Ejemplo 4 del libro. $\{a,b\}\times\{a,b,c\}=\{(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c)\}$ $\mathbb{R}^2=\{(x,y): x,y\in\mathbb{R}\}, \qquad [1,5]\times[-2,7)=\{(x,y): 1\le x\le5,\ -2\le y<7\}$

Parte B · Relaciones, orden y cotas

Relación en $X$. Subconjunto $R\subset X\times X$ (una "lista de parejas relacionadas"). Se escribe $x_1\,R\,x_2$ por $(x_1,x_2)\in R$.

Relación de orden (símbolo genérico $<$):

1. Irreflexiva: nunca $x<x$.
2. Transitiva: $x<y$ e $y<z\Rightarrow x<z$.

• Total: dos elementos distintos siempre son comparables. Si no, parcial.
• $x\le y$: "$x<y$ o $x=y$".
• En el libro, "orden" = estricto y total salvo aviso. Conjunto ordenado: con un orden total fijado.
• Ejemplo 6: el diccionario (orden total); "ser descendiente de" (orden parcial: dos primos no son comparables).

Cota superior de $\varnothing\neq M\subset X$: cualquier $c\in X$ con $m\le c$ para todo $m\in M$ (un "techo"). No tiene por qué pertenecer a $M$.

• Ejemplo 7: "bota" es cota superior de las palabras que empiezan por "a".
• Todo conjunto puede ordenarse, pero puede no haber un orden compatible con otras estructuras (le pasará a $\mathbb{C}$).

Ejemplos resueltos

1. Igualdad de tuplas. $(x+y,\ x-y,\ 3)=(5,\ 1,\ z)$: $\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\\z=3\end{cases}\;\Rightarrow\;2x=6\Rightarrow x=3,\quad y=2,\quad z=3$

2. No conmutatividad. $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2\}$: $(3,1)\in A\times B$ pero $(3,1)\notin B\times A$.

3. Bits. $\{0,1\}^3$ tiene $2^3=8$ ternas = las 8 cadenas de 3 bits. Un byte $\in\{0,1\}^8$: $256$ valores.

4. ¿Es un orden? En $X=\{a,b,c\}$:

• $R_1=\{(a,b),(b,c),(a,c)\}$: ✔ orden total $a<b<c$.
• $R_2=\{(a,b),(b,c)\}$: ✘ no transitiva (falta $(a,c)$).
• "Divide y es distinto" en $\{1,2,3,4,6\}$: orden parcial ($2$ y $3$ no comparables).

5. Cotas. $M=\{1-\tfrac1n: n\ge1\}=\{0,\tfrac12,\tfrac23,\tfrac34,\dots\}$:

• $1-\tfrac1n<1$ → todo $c\ge1$ es cota.
• Si $c<1$: $\;1-\tfrac1n>c\iff \tfrac1n<1-c\iff n>\tfrac{1}{1-c}$ → hay elementos por encima de $c$.
• Cotas: $[1,+\infty)$. La menor es $1\notin M$ (sería $\tfrac1n=0$, imposible).

1.4 Funciones

Idea intuitiva: la máquina expendedora

• Pulsas un botón (entrada) y sale un producto (salida).
• Reglas: todo botón da algo y cada botón da una sola cosa.
• Permitido: dos botones con el mismo producto; productos que ningún botón da.

Definiciones

Función como gráfica (definición rigurosa del libro): $f\subset X\times Y \ \text{ tal que para cada } x\in X \text{ existe un único } y\in Y \text{ con } (x,y)\in f$ Se escribe $y=f(x)$. "Función" = "aplicación". $X$ = dominio, $Y$ = conjunto final.

• Una vez asentado, se trabaja con la idea intuitiva de regla de asignación.
• Se describe con una fórmula o enumerando valores (Ejemplo 8: $f(x)=(x-3)^2$ en $I=\{2,3,4,5\}$ da $f(2)=1,\ f(3)=0,\ f(4)=1,\ f(5)=4$; $f\in\mathbb{N}^I$).

Imagen de $A\subset X$ y recorrido: $f(A)=\{y\in Y: \text{existe } x\in A \text{ con } f(x)=y\}, \qquad \text{recorrido}=f(X)$

Imagen inversa de $B\subset Y$ ("¿qué entradas llevan aquí?"): $f^{-1}(B)=\{x\in X: f(x)\in B\}$ Existe siempre (aunque $f$ no sea invertible) y puede ser $\varnothing$.

Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva.

• En general $f^{-1}$ es una multifunción (a un $y$ le pueden corresponder varios $x$).
• Inyectiva: $f^{-1}:f(X)\to X$ es función, es decir, $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$.
• Sobreyectiva (nombre estándar, no del libro): $f(X)=Y$.
• Biyectiva: inyectiva y $f(X)=Y$. Entonces $f^{-1}:Y\to X$ es función (y biyectiva): "deshace" $f$.

Conjunto de funciones. $Y^X=\{f:X\to Y\}$; si son finitos, $\lvert Y^X\rvert=\lvert Y\rvert^{\lvert X\rvert}$. Una función $\{1,\dots,n\}\to Y$ "es" una $n$-tupla (clave para $\mathbb{K}^I$ en el Tema II).

Operaciones internas. Una operación $p$-aria en $X$ es una función $X^p\to X$; las binarias ($X\times X\to X$) son las habituales.

• Ejemplo 9: $+$ y $\cdot$ en $\mathbb{N}$ son funciones $(n,m)\mapsto n+m$, $(n,m)\mapsto nm$.
• Se escriben con símbolo ($n+m$), no con letra.
• A veces el dominio no es todo $X\times X$ (división: no entre $0$).
• Cerrado: $M\subset X$ es cerrado si operar elementos de $M$ da siempre algo de $M$.
• Ejemplo 10: los impares son cerrados para $\cdot$ pero no para $+$.
• Más adelante: operaciones con más entradas, como el determinante.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 8 del libro, ampliado. $f:\{2,3,4,5\}\to\mathbb{N}$, $f(x)=(x-3)^2$.

• Recorrido: $\{0,1,4\}$.
• $f^{-1}(\{1\})=\{2,4\}$, $\;f^{-1}(\{4\})=\{5\}$, $\;f^{-1}(\{7\})=\varnothing$.
• No inyectiva ($f(2)=f(4)$); no sobreyectiva sobre $\mathbb{N}$.

2. Imagen e imagen inversa de $x^2$. $f([-1,2])=[0,4]\ (\text{no } [1,4]), \qquad f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2], \qquad f^{-1}((-\infty,0))=\varnothing$

3. Biyectiva con inversa. $f(x)=3x-2$ en $\mathbb{R}$:

• Inyectiva: $3x_1-2=3x_2-2\Rightarrow 3x_1=3x_2\Rightarrow x_1=x_2$.
• Sobreyectiva: $3x-2=y\Rightarrow x=\dfrac{y+2}{3}$. $f^{-1}(y)=\frac{y+2}{3} \qquad(\text{"multiplica por 3, resta 2"} \to \text{"suma 2, divide entre 3"})$

4. Imagen inversa vacía. $f(x)=\lvert x\rvert$: $f^{-1}([-2,-1])=\varnothing$, porque $\lvert x\rvert\ge0$ siempre y $[-2,-1]$ no toca el recorrido $[0,+\infty)$.

5. Conjunto cerrado. Impares cerrados para $\cdot$: $(2k+1)(2l+1)=4kl+2k+2l+1=2(2kl+k+l)+1$ No cerrados para $+$: $1+1=2$.

1.5 Familias o conjuntos indexados

Idea intuitiva

• Notas: Ana 7, Luis 7, Marta 9. Como conjunto, $\{7,7,9\}=\{7,9\}$: se pierde quién y la repetición (la media saldría $8$ en vez de $\tfrac{23}{3}\approx7{,}67$).
• Como familia: $u_{\text{Ana}}=7$, $u_{\text{Luis}}=7$, $u_{\text{Marta}}=9$.
• Analogía: un diccionario de Python {"Ana": 7, "Luis": 7, "Marta": 9} (claves = índices, valores = miembros).

Definiciones

Familia (conjunto indexado): aplicación $u:I\to X$ cuando de $I$ solo se usa que es un conjunto (no se suma, ordena…).

• Notación relajada: $u=u_i$. No son reglas estrictas.
• Índices y miembros pueden ser cualquier cosa (nombres, números, conjuntos, funciones…).
• Familia ≠ conjunto de valores $u(I)=\{u_i: i\in I\}$.
• Una $n$-tupla es una familia con $I=\{1,\dots,n\}$; una sucesión, con $I=\mathbb{N}$.

Sumatorio (repaso): $\sum_{i=1}^{3}u_i=u_1+u_2+u_3 \qquad\text{(como un bucle } \texttt{for i in range(1,4)}\text{)}$

Variables mudas y libres.

• Muda (ligada): atrapada por un operador (sumatorio, llaves, subíndice); su nombre da igual: $(u_i)_{i\in I}=(u_k)_{k\in I}$.
• Libre: no atrapada; el resultado depende de ella. $\sum_{i=1}^{4}(2i-1)=\sum_{k=1}^{4}(2k-1)=16, \qquad S(n)=\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2 \ (n \text{ libre})$
• Con complejos, no usar $i$ como índice (se confunde con la unidad imaginaria).

Ejemplo 11 del libro (con datos)

$H=\{h_1,h_2,h_3\}$ hogares, $I=\{\text{libros},\text{entradas},\text{suscripciones}\}$:

$\sum_{h\in H}u_{\text{libros}}(h)=4+0+7=11, \qquad \sum_{i\in I}\sum_{h\in H}u(i,h)=22$

1.6 Conjuntos numéricos (mapa del tema)

Papel de cada parte (según el libro):

BLOQUE 2 · NATURALES, ENTEROS Y BASES

2.1 Números naturales y enteros

• $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ con adición y multiplicación (funciones $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, ver 1.4 Funciones) y el orden $0<1<2<\cdots$.
• Resta y división no están definidas en todo $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$.
• Nota 1: el 0 es natural en el libro; es imprescindible en los sistemas posicionales (distingue $35$, $305$, $3005$).

Finito, infinito, numerable (asignaciones = aplicaciones):

• $A$ es infinito si a cada natural se le puede asignar un elemento diferente de $A$ (función inyectiva $\mathbb{N}\to A$).
• Finito = no infinito (p. ej. los días de la semana).
• $A$ es numerable si a cada elemento se le puede asignar un natural diferente (inyectiva $A\to\mathbb{N}$): sus elementos se pueden enumerar. $\mathbb{N}$ es infinito numerable; los pares también.

Enteros. $\mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,\dots\}$, con el único orden compatible con la suma ($k+1>k$): $\cdots<-3<-2<-1<0<1<2<3<\cdots$

• Se suman, restan y multiplican sin salir de $\mathbb{Z}$; la división no siempre.
• $\mathbb{Z}$ es numerable, pero enumerándolo en otro orden:

2.2 Sistemas de numeración

• Número ≠ representación: $19$ y $\mathrm{XIX}$ son el mismo número.
• Una propiedad matemática nunca depende de la notación (solo de las propiedades básicas de la estructura).
• Los sistemas de numeración se refieren a los naturales; los negativos solo llevan un signo delante.

• El romano es solo parcialmente posicional ($\mathrm{XIX}\neq\mathrm{XXI}$, pero $\mathrm{IXX}$ no es otro número).
• Inventado al menos tres veces: Mesopotamia, Mesoamérica, India.
• Base 2 es la natural en matemáticas (lógica binaria: verdadero/falso, pertenece/no pertenece). Bases mayores (10, 20 maya) por comodidad y anatomía.

Informática.

• Byte = 8 bits → $2^8=256$ valores.
• Hexadecimal (base 16): 1 cifra = 4 bits, así que 2 cifras hex = 1 byte: $11111111_2=FF_{16}$.
• Octal (base 8): 1 cifra = 3 bits (agrupar bits de 3 en 3).

2.3 El sistema posicional

Todo natural $n$ se representa de forma única en base $b$ como $n=(a_k a_{k-1}\cdots a_1a_0)_b$ con $n=a_k\,b^k+a_{k-1}\,b^{k-1}+\cdots+a_1\,b+a_0, \qquad a_k\neq0$ ($n$ tiene $k+1$ cifras en base $b$). Subíndice de base solo si conviven varias bases.

Base $b$ → decimal (desarrollar). Ejemplo 12: dígitos hex $0,\dots,9,A,\dots,F$ ($A=10,\dots,F=15$): $F3A_{16}=15\cdot16^2+3\cdot16+10=3840+48+10=3898$

Decimal → base $b$ (divisiones sucesivas; los restos, leídos de abajo arriba). Ejemplo 14: $45=4\cdot11+1,\qquad 11=4\cdot2+3,\qquad 2=4\cdot0+2 \;\Rightarrow\; 45=231_4$ Por qué funciona: $a_kb^k+\cdots+a_1b+a_0=b\,(a_kb^{k-1}+\cdots+a_1)+a_0$, así que el resto de dividir entre $b$ es la última cifra.

Ejemplo 13 (sin pasar por decimal): $11101_2$ a base 3 usando $2^0=1_3,\ 2^1=2_3,\ 2^2=11_3,\ 2^3=22_3,\ 2^4=121_3$: $11101_2=121_3+22_3+11_3+1_3=1002_3 \quad(=29)$

bin(45), oct(45), hex(45)   # ('0b101101', '0o55', '0x2d')
int('1010', 2)              # 10
int('F3A', 16)              # 3898

BLOQUE 3 · RACIONALES

3.1 El cuerpo Q de los números racionales

$\mathbb{Q}=\left\{\frac pq: p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq0\right\}$ Se suman, restan, multiplican y dividen (no entre 0) sin salir de $\mathbb{Q}$. Su estructura es el modelo para definir cuerpo.

Cuerpo (definición del libro):

• $\mathbb{K}$ (con más de un elemento) con cuatro operaciones internas: $+$, $-$, $\cdot$ y $/$ por no nulos (nulo = $e$ con $e+a=a$ para todo $a$).
• Identidad algebraica: igualdad con letras, esas cuatro operaciones y paréntesis, verdadera para cualquier sustitución que no anule divisores (Ejemplo 17: $(b-c)\cdot\big(a/(b-c)\big)=a$).
• $\mathbb{K}$ es cuerpo si todas las identidades algebraicas de $\mathbb{Q}$ son válidas en $\mathbb{K}$.
• $\mathbb{Z}$ no es cuerpo: ¿cómo definir $1/2$ en $\mathbb{Z}$? (Ejemplo 18).

Cuerpo ordenado: con un orden total en el que los positivos (mayores que 0) son cerrados para $+$ y $\cdot$ (ver 1.4 Funciones).

Cuerpo completo: el conjunto de cotas superiores de cualquier subconjunto es vacío o tiene un elemento menor que las demás cotas (ver 1.3 Tuplas, producto cartesiano y orden).

• $\mathbb{Q}$ es numerable (Figura 4: se enumeran saltando repeticiones).
• Valor absoluto en un cuerpo ordenado: $\lvert x\rvert=\max\{x,-x\}$, con $\lvert x+y\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert y\rvert, \qquad \lvert xy\rvert=\lvert x\rvert\,\lvert y\rvert, \qquad \lvert x\rvert>0 \text{ si } x\neq0$

3.2 Fracción y desarrollo de un racional

División escolar = algoritmo en base $b$: "bajar un cero" es multiplicar el resto por la base. Ejemplo 20: $3\cdot10=3\cdot8+6,\quad 6\cdot10=7\cdot8+4,\quad 4\cdot10=5\cdot8+0 \;\Rightarrow\; \tfrac38=0{,}375$ Solo hay $q$ restos posibles ($0,\dots,q-1$) → alguno se repite → el desarrollo es eventualmente periódico.

Del desarrollo a la fracción (Ejemplos 21–22): $r=2{,}3\overline{20}$ $1000r=2320{,}\overline{20},\qquad 10r=23{,}\overline{20}\;\Rightarrow\;990r=2297\;\Rightarrow\;r=\frac{2297}{990}$

• Notas: $0{,}\overline{34}=0{,}3\overline{43}$ (mismo número, distinto periodo); $0{,}\overline{9}=1$ ($10r-r=9$), y el periodo $\overline9$ nunca sale al dividir.